代做MATH 2130 Further Linear Algebra and Discrete Mathematics: Homework 1代写Web开发

日期：2025-11-01 11:23

MATH 2130 Further Linear Algebra and Discrete Mathematics:

Homework 1

Submit via Gradescope by 14:00 on Friday 31 October 2025

Answer to the following questions, always justifying your answers.  Each of the eight questions is worth 10 marks, for a total maximum of 80 marks.  This homework as a whole is worth 10% of your module mark.

Linear algebra

1.  In the field F7 with 7 elements (see Workshop 1), find the following.

(a)  The element —3.

(b) The element 4-1.

(c) Two elements x such that x2 + 4x + 3 = 0.

2.  Let M2×2(F) be the set of all 2 × 2 matrices with entries in a field F with addition and scalar multiplication defined as follows:

Prove that this is a vector space over F by checking that all of the axioms from Definition 1.6 hold.  In your calculations, indicate which properties of the field F you are using, whether it be one of the field axioms, or Proposition 1.5 from the notes.

3.  Determine each of the following, justifying your answers.

(a)  Is {(x, y, z) ∈ R3  : x + 14y + 4z = 0} a subspace of R3?

(b)  Is {(x, y, z) ∈ R3  : x + 14y + 4z = 28} a subspace of R3?

(c)  Is {(x, y) ∈ R2  : x2  = y2 } a subspace of R2?

(d)  Is {(a, b) ∈ F2(2)  : a · a + b = 0-} a subspace of F2(2)?

4.  Let U and W be subspaces of a vector space V over a field F.  Prove that U ∪ W is a subspace of V if and only if U ⊆ W or W ⊆ U.

Discrete mathematics

5. You roll a standard 6-sided die 7 times. What is the probability of getting an odd number at least three times and an even number at least twice?

6.  You roll a die 7 times and tabulate the results, counting the total number of 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, and 6s rolled.  For example the table indicates that three 2s, one 3, one 5 and two 6s were rolled.

(a)  How many tables are possible?

(b)  How many possible tables contain zero 7s as totals?  How many contain zero 6s as totals (I’m not counting the 6 in the top right of the table representing the side of the die!)?  How many contain zero 0s?

7.  How many passwords are there of length  10, consisting of three upper case letters, three lower case letters (letters being chosen from the 26 letters in the alphabet) and four numerical digits (from {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9})?

8.  How many integers are there in the range between 1 and 10, 000 which are not divisible by any of the numbers 2, 3, 5?  (HINT: You may assume that if p1 , . . . , pk  are distinct prime numbers, then n is divisible by each of p1 , . . . , pk  if and only if it is divisible by the product p1  · ... · pk.)