联系方式

  • QQ:99515681
  • 邮箱:99515681@qq.com
  • 工作时间:8:00-23:00
  • 微信:codinghelp

您当前位置:首页 >> Web作业Web作业

日期:2025-03-13 05:29

MATH1014

Calculus II

L01 (Spring 2025)

Problem Set 3




1.     (a)     Let  m   and  n   be non-negative integers.     Evaluate the following integrals, distinguishing all possible cases for  m  and  n.

(b)    Let  n   be apositive integer and let  f: ℝ → ℝ   be afunction defined by

f(x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sinnx ,

where  a1, a2, … , an    are real numbers.     Show that we must have

2.     Evaluate the following antiderivatives.

Hint:         In (d),first consider  ex 2 dx.

3.     Evaluate the limit

 

Hint:         Take natural logarithm.

4.     Let  a  > 0   and let  f: [−a, a] → ℝ  bean odd continuous function.     Show that

5.     The  following  are “ proofs” of some obviously false statements.    Point  out  what  is  wrong in each of these “ proofs”.

(a)    A “ proof” of the statement that “π  = 0”.



(b)   A “ proof” of the statement that “every integral equals zero” :

(c)    A “ proof” of the statement that “0  =  1”.

6.     Let  f   be afunction which is continuously differentiable on   [0, 1].

(a)    For every   a, b ∈ [0, 1], show that

 

(b)    Let  n  ≥ k  ≥ 1  be  integers.    Using  the  result from  (a)  and the  generalized Mean Value

Theorem for integrals (Example 5.49 (a)), show that there exists  such that 

(c)    Now for each  n  ∈ , we let  Show that 

Hence using the result from (b),deduce that

 



 7.     Let  f: [0, +∞) → ℝ   be the function defined by  f(x) = xex. (a)    Show that  f   is strictly increasing.

(b)    Now  f  is one-to-one according to (a), so we let  g   be the inverse of  f, i.e.  g  = f −1 .

(i)     Write down the domain of  g.     Show that

 

for every  x   in the interior of the domain of  g.

(ii)    Using  the  result  from  (b)  (i)  or  otherwise,  evaluate  the  antiderivative  ∫ g(x)dx,

expressing your answer in terms of  g   and other elementary functions only. 

(iii)   Hence,or otherwise, evaluate the integral 

8.     (a)     Let  n   beanon-negative integer, and let  f: ℝ → ℝ   be the polynomial f(x) = (x2   1)n.

(i)     Show that  (x2  − 1)f (x) − 2nxf(x) = 0  for every  x   ℝ .

(ii)    Hence, show that

(x2   1)f(n+2)(x) + 2xf(n+1)(x) − n(n + 1)f(n)(x) = 0 

for every  x  ∈ ℝ .

Hint:         Recall “ Leibniz rule” in chapter 3.     Part (a) is almost the same as Example 3.69. (b)    For each non-negative integer  n, let  pn : ℝ → ℝ   be the function

 

(i)     Using the result from (a) (ii), show that

 

for every non-negative integer  n.

(ii)    Hence deduce that if  m   and  n   are distinct non-negative integers, then

 

9.     For each non-negative integer  n, let

 

(a)    For each positive integer  n, show that

 

Hence show that

 

(b)    Using the result from (a), find the value of  In   in terms of  n.



 




版权所有:留学生编程辅导网 2020 All Rights Reserved 联系方式:QQ:99515681 微信:codinghelp 电子信箱:99515681@qq.com
免责声明:本站部分内容从网络整理而来,只供参考!如有版权问题可联系本站删除。 站长地图

python代写
微信客服:codinghelp