联系方式

  • QQ:99515681
  • 邮箱:99515681@qq.com
  • 工作时间:8:00-23:00
  • 微信:codinghelp

您当前位置:首页 >> Algorithm 算法作业Algorithm 算法作业

日期:2024-08-19 12:22

Asset Pricing in Continuous Time

MATH0085

MSc Examination

2020

1.  Let (Ω , F, (Ft ), P) be a ltered probability space where (Ft )t0 is generated by the Brow- nian motion (Wt )t0 and P is the real-world probability measure.

Consider the pricing kernel model (πt )t≥0  defined by

where α and β are constants.

(a) [U] Assume and show that

[10 marks]

(b) [SS] Derive the interest rate (rt )t0 and the market price of risk  (λt )t0  processes associated with the pricing kernel (2). What must hold for β such that the market price of risk is nancially meaningful? [10 marks]

(c) [U] Denote the price process of a discount bond with maturity T by (PtT)0tT. As- suming the pricing kernel model (2) it follows that


where . What can be concluded for the short-rate of interest that underlies the bond price? Explain your answer. [5 marks]

2.  Let (Ω , F, (Ft)t0, Q) be a probability space equipped with the filtration generated by (WtQ)t0 where the risk-neutral probability measure Q is equivalent to P, and (WtQ) is a Q-Brownian motion.

Let 1{A} denote the indicator function of an event A. Let (rt) and (σt) be (Ft)-adapted and positive processes. Consider the following model for the price process (St ) of an asset:

where S0  is a constant.

(a)[SS] Derive the stochastic differential equation for the process (St ). [5 marks]

(b)[SS] Construct the dynamics of the process (St ) under the “real” probability mea- sure P assuming a market price of risk (λt )t0  is given.  Apply Girsanov’s Theorem and the Sharpe Ratio at the appropriate steps in your derivation (write down explicitly the theorem). Here, you may assume that Novikov’s Condition is satisfied. [10 marks]

(c)[SS] Let rt  and σt  be deterministic functions.  Calculate the price Ht  at time t of an option with payoff function HT  = 1{ST   < x} at the maturity date T, where x > 0 and 0 ≤ t ≤ T. [10 marks]

3.  Consider a call option with strike price K and expiry date T written on an underlying asset with price process (St )0tT .  The call option price at t = 0 is denoted C(0, T, S0 , K), which is twice differentiable in K. Let q(0, T, S0 , y) denote the (transition) density given by

where Q is a risk-neutral measure. Furthermore, we assume a constant interest rate r.

(a)[SS] Show that

[6 marks]

Consider dSt   = rSt dt + σ(t, St )StdWt , where  (Wt )t0 is a Q-Brownian motion. The associated Kolmogorov forward equation is given by


where q(t,T, x, y) is given by Eq. (4) and limtT q(t,T, x, y) = δ(y).

(b)[SS] Show that

[7 marks]

(c)[SS] By use of the results in (a) and (b),show that


What integration assumptions need to hold at infinity? [12 marks]

4.  Let (Ω , F, (Ft), P) be a ltered probability space where (Ft) is generated by a Brownian motion (Wt)0≤t. Let the money market process (Bt)0t satisfy dBt  = rBtdt where r 0 is a non-zero constant, and let the asset price process (St)0t be given by

St  = σBtWt ,                                                 (8)

where σ is the constant volatility parameter. Furthermore, we introduce a derivative with maturity T  >  0 and price Ct  at time t given by Ct   =  C(t, St ) for 0  ≤  t  < T, and CT = C(ST ) for t = T. We assume that the function C(t, x) is once continuously differentiable in t and twice continuously differentiable in x, fort ∈ [0, T) and x ∈ R.

(a)[SS] Show that

dSt  = rSt dt + σBtdWt.                                           (9)

[5 marks]

(b)[SS] Show that the SDE satisfied by (Ct )0≤t

[5 marks]

(c)[SS] Let (φt )0tt

Vt  = φtSt + ψtBt ,

where VT  = C(T, ST ). Show that (φt ) and (ψt ) must, respectively, satisfy

and derive the PDE satisfied by the derivative price. Give the terminal boundary condition of the PDE.

[15 marks]

5.  Let (Ω , F, (Ft), P) be a ltered probability space where (Ft)t0 is generated by the Brow- nian motion (Wt )t0 and P is the real-world probability measure. Denote by (PtT)0tT the price process of a discount bond. Consider

where (ΣtT )0tT  is the volatility of the discount bond price process and (λt)t0  is the market price of risk. Moreover, the pricing kernel process (πt )t0  satisfies

where (rt )t≥0 is the short-rate of interest process.

(a) [SS] By use of Equations (10) and (11) show that

[10 marks]

(b)[S] By closely inspecting the SDE (12), explain how (ΣtT), (λt) and (rt) can be respec- tively interpreted as the bond price volatility, the market price of risk and the short-rate of interest. [6 marks]

(c) [SS] Let the (Ft )-adapted process (At )t≥0 bedefined by

dAt  = vt dWt ,                                                 (13)

where (vt )t0 is a stochastic process. Consider a discount bond price process of the form

where P0t, for 0 ≤ t ≤ T, and b(t) are deterministic functions, and where T is the bond maturity.  Derive the expression for the bond volatility process (ΣtT)0tT . [9 marks]




版权所有:留学生编程辅导网 2020 All Rights Reserved 联系方式:QQ:99515681 微信:codinghelp 电子信箱:99515681@qq.com
免责声明:本站部分内容从网络整理而来,只供参考!如有版权问题可联系本站删除。 站长地图

python代写
微信客服:codinghelp