代写Lineare Algebra II Ubungsblatt 4代写数据结构程序

日期：2024-09-12 05:39

Lineare Algebra II

Ubungsblatt 4

SS 2024

Aufgabe 1. Ein endlicher regul¨arer Kettenbruch ist ein Ausdruck der Form.

wobei n ∈ N0, a0 eine ganze Zahl, und die ai f¨ur i = 1, . . . , n positive ganze Zahlen sind.

a) Man zeige mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus, dass jedes q ∈ Q als endlicher regul¨arer Kettenbruch dargestellt werden kann.

b) Man bestimme eine solche Darstellung f¨ur q = 2137/9973.

Aufgabe 2. F¨ur die Polynome f = 2X4 + X2 + 2 und g = X5 − 2X3 + X2 − 2 in F3[X] bestimme man ggT(f, g), sowie h, k ∈ F3[X] sodass ggT(f, g) = hf + kg.

Aufgabe 3. Eine Nullstelle λ eines Polynoms f ∈ R[X] hat Vielfachheit c ∈ N, falls es g ∈ R[X] gibt, sodass f = (X − λ) c g und g(λ) = 0. Zeigen Sie:

a) Eine Nullstelle λ von f ∈ R[X] hat Vielfachheit c genau dann wenn λ eine Nullstelle der Ableitung f ′ ∈ R[X] mit Vielfachheit c − 1 ist.

b) Die mehrfachen Nullstellen von f (d.h. jene mit Vielfachheit ≥ 2) sind genau die Nullstellen von ggT(f, f′).

Aufgabe 4. Sei R ein Integrit¨atsbereich (kommutativ, mit Eins) und x1, . . . , xk ∈ R\{0}. Dann ist y ∈ R ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von x1, . . . , xk falls

(1) xi | y f¨ur alle i = 1, . . . , k

(2) aus xi | z f¨ur alle i = 1, . . . , k folgt y | z.

Wir schreiben y = kgV(x1, . . . , xk). Zeigen Sie:

a) kgV(x1, . . . , xk) ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt, d.h., sind y ∈ R und z ∈ R kleinste gemeinsame Vielfache von x1, . . . , xk ∈ R\{0}, dann gibt es ein u ∈ R× sodass y = uz.

b) F¨ur a, b ∈ Z\{0} gilt ggT( a,b)/ab = kgV(a, b).